Bahan Ajar TEOREMA PYTHAGORAS

GEOMETRI DAN PENGUKURAN

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan Teorema Pythagoras dalam pemecahan masalah 

Kompetesi Dasar : 3.1.Menggunakan teorema phytagoras untuk menentukan panjang sisi segitiga siku-siku

Indikator :

·            Menyebutkan teorema phytagoras

·            Menemukan teorema phytagoras dan menentukan panjang sisi segitiga siku-siku dengan teorema phytagoras

·            Menggunakan teorema phytagoras dalam memecahkan masalah

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:

·         dapat menyebutkan teorema phytagoras

·         dapat menemukan dan menentukan panjang sisi segitiga siku-siku dengan teorema pythagoras;

·                                       dapat menggunakan teorema phytagoras dalam memecahkan masalah

Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kalian harus menguasai materi mengenai segitiga, segi empat, sudut, dan bilangan kuadrat, serta akar kuadrat. Namun, sebelumnya mari kita ingat kembali mengenai luas persegi dan luas segitiga siku-siku.

A. TEOREMA PYTHAGORAS

1. Luas Persegi dan Luas Segitiga Siku-Siku                    D                         C

Perhatikan Gambar 5.1.                                                              s

Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi ABCD yang

panjang sisinya s satuan panjang.                                          A            s             B

Luas persegi ABCD = sisi × sisi                                                 gambar 5.1

L = s × s

L = s² satuan luas                                               S                                       R

Selanjutnya, perhatikan Gambar 5.2.                                                l

Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi panjang PQRS         P                                       Q

yang panjangnya p dan lebarnya l satuan. Diagonal QS membagi                       p

persegi panjang PQRS menjadi dua buah segitiga siku-siku, yaitu             Gambar 5.2

∆ PQS dan ∆ QRS. Luas persegi panjang PQRS sama dengan

jumlah luas ∆ PQS dan ∆ QRS. Adapun luas ∆ PQS sama dengan

luas ∆ QRS, sehingga diperoleh

luas ∆ PQS = luas ∆ QRS

= luas persegi panjangPQRS

Karena persegi panjang PQRS berukuran panjang p dan lebar l, luas ∆ PQS =  × p × l

luas segitiga siku-siku =  × alas × tinggi

2. Menemukan Teorema Pythagoras

Untuk menemukan teorema Pythagoras lakukan kegiatan berikut. Ambillah dua potong kertas berbentuk persegi berukuran (b + c) cm seperti tampak pada Gambar 5.3 (i) dan 5.3 (ii). Kita akan menemukan hubungan antara besarnya a, b, dan c.

Gambar 5.3 (i) menunjukkan persegi ABCD berukuran                   D             P                  C

(b + c) cm. Pada keempat sudutnya buatlah empat segitiga sikusiku

dengan panjang sisi siku-sikunya b cm dan c cm.                                                                S                       

Dari Gambar 5.3 (i) tampak bahwa luas persegi ABCD sama        Q       

dengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luas      

empat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehingga                A             R            B

diperoleh                                                                                                   Gambar 5.3 (i)

luas daerah yang diarsir = luas empat segitiga siku-siku

= 4 ×  × b × c                                           H          N                  G

dan luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi PQRS                   b

= a × a = a^{2                                                                                      M}

Lalu buatlah persegi EFGH berukuran (b + c) cm seperti                 c                               c

tampak pada gambar 5.3 (ii). Pada dua buah sudutnya buatlah        E             b      O     F

empat segitiga siku-siku sedemikian sehingga membentuk dua              Gambar 5.3 (ii)

persegi panjang berukuran (b × c) cm.

Dari Gambar 5.3 (ii) tampak bahwa luas persegi EFGH sama

dengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luas

empat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehingga

diperoleh

luas daerah yang diarsir = luas dua persegi panjang

= 2 × b × c

= 2 bc

luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi KMGN+ luas persegi OFML

= (b × b) + (c x c)

= b² + c²

Dari Gambar 5.3 (i) dan 5.3 (ii) tampak bahwa ukuran persegi ABCD = ukuran persegi EFGH, sehingga diperoleh luas persegi ABCD = luas persegi EFGH

2bc + a² = 2bc + b² + c²

a² = b² + c²

Luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi siku-siku segitiga tersebut.

Teorema Pythagoras tersebut selanjutnya dapat dirumuskan seperti berikut.Untuk setiap segitiga siku-siku, berlaku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya. Jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan a panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang sisi siku-sikunya maka berlaku:                   

a² = b² + c².                C

                                   A                          B

Pernyataan di atas jika diubah ke bentuk pengurangan menjadi            

b² = a² – c²  atau  c² = a² – b²

Contoh :

Nyatakan hubungan yang berlaku pada sisi-sisi segitiga pada gambar dibawah ini:

a.    R                                                          b.                                  m

                                                                                    l

      P                     Q                                                                 k

Penyelesaian:

Karena kedua segitiga di samping adalah segitiga sikusiku, maka berlaku teorema Pythagoras, yaitu kuadrat panjang sisi miring = jumlah kuadrat sisi siku-sikunya, sehingga berlaku:

a. q² =      atau

b. l² =      atau

 

Latihan Soal

1.      Gunakan teorema Pythagoras untuk menyatakan persamaan-persamaan yang berlaku pada segitiga berikut.

C                                                  F                                          I

                                                                                E

A                    B                  D                                                                                      H

                                                                                                                G

2.      Ukurlah panjang sisi setiap segitiga sikusiku pada soal no. 1 di atas. Cek, apakah kuadrat panjang sisi miring = kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya. Ujilah jawabanmu dengan jawaban soal no. 1.

3. Menggunakan Teorema Pythagoras untuk Menghitung

Panjang Salah Satu Sisi Segitiga Siku-Siku jika Kedua

Sisi Lain Diketahui

Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapat menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika panjang kedua sisi lain diketahui.

Contoh:

Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = 6 cm dan BC = 8 cm.Hitunglah panjang AC.

              A

       6 cm

B             8 cm           C

Penyelesaian:

Dengan menggunakan teorema Pythagoras berlaku

AC² = AB² + BC²

= 6² + 8²

= 36 + 64

= 100

AC =  = 10 cm

Jadi, panjang AC = 10 cm.

Latihan

1.      Gunakan teorema Pythagoras untuk menghitung nilai x pada gambar berikut.

                   C                                                           12                                                   I

                                                                    E                               F

               10                    26                         9                                           24                25

                                                                                      x                  G

                A                                      B        D                                        x

                                  x                                                                                          H

2.       Hitunglah nilai y pada setiap segitiga berikut.

 

                                                 3y

          y                    8                                            20

                                

               y                                  4y

3.      Diketahui segitiga PQR siku-siku di P

dengan PQ = 12 cm dan QR = 13 cm.

a. Buatlah sketsa segitiga tersebut.

b. Tentukan panjang PR.

4. Panjang hipotenusa suatu segitiga sikusiku adalah 15 cm, sedangkan panjang sisi siku-sikunya 12 cm dan x cm.Berapakah nilai x?

C. MENYELESAIKAN MASALAH SEHARIHARI

DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA

PYTHAGORAS

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang disajikan dalam soal cerita dan dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Pythagoras. Untuk memudahkan menyelesaikannya diperlukan bantuan gambar (sketsa). Pelajari contoh berikut.

Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 100 meter. Jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang adalah 60 meter. Hitunglah ketinggian layang-layang!                                                                 C

Penyelesaian:

Tinggi layang-layang = BC

BC = AC² × AB²                                                       100 m

= 100² × 60²

= 10.000 -  3600                                          A                       60 m               B

=

= 80 m

Jadi, tinggi layang-layang adalah 80 m.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 150 km, kemudian ke arah selatan sejauh 200 km. Hitung jarak kapal sekarang dari tempat semula!

2. Sebuah tangga yang panjangnya 12 m bersandar pada tembok yang tingginya

8 m. Jika kaki tangga terletak 6 m dari tembok maka hitunglah panjang bagian tangga yang tersisa di atas tembok!

3. Seseorang menyeberangi sungai yang lebarnya 30 meter. Jika ia terbawa arus sejauh 16 meter, berapakah jarak yang ia tempuh pada saat menyeberangi

    sungai?

4. Dua buah tiang berdampingan berjarak 24 m. Jika tinggi tiang masing-masing adalah 22 m dan 12 m, hitunglah panjang kawat penghubung antara ujung tiang tersebut!

5. Sebidang sawah berbentuk persegi panjang berukuran (40 􀁵 9) m. Sepanjang keliling dan kedua diagonalnya akan dibuat pagar dengan biaya Rp25.000,00 per meter. Hitunglah:

     a. panjang pagar;

     b. biaya pembuatan pagar.