GEOMETRI DAN PENGUKURAN
Standar Kompetensi : 3.
Menggunakan Teorema Pythagoras dalam pemecahan masalah
Kompetesi Dasar :
3.1.Menggunakan teorema phytagoras untuk menentukan panjang sisi segitiga
siku-siku
Indikator :
·
Menyebutkan teorema
phytagoras
·
Menemukan teorema
phytagoras dan menentukan panjang sisi segitiga siku-siku dengan teorema
phytagoras
·
Menggunakan teorema
phytagoras dalam memecahkan masalah
Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
·
dapat
menyebutkan teorema phytagoras
·
dapat menemukan dan
menentukan panjang sisi segitiga siku-siku dengan teorema pythagoras;
·
dapat menggunakan teorema phytagoras
dalam memecahkan masalah
Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kalian harus menguasai
materi mengenai segitiga, segi empat, sudut, dan bilangan kuadrat, serta akar
kuadrat. Namun, sebelumnya mari kita ingat kembali mengenai luas persegi dan
luas segitiga siku-siku.
A. TEOREMA PYTHAGORAS
1. Luas
Persegi dan Luas Segitiga Siku-Siku D
C
Perhatikan Gambar 5.1. s
Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi ABCD yang
panjang sisinya s satuan
panjang. A s B
Luas persegi ABCD = sisi × sisi gambar 5.1
L = s × s
L = s2
satuan luas
S
R
Selanjutnya, perhatikan Gambar 5.2.
l
Pada gambar tersebut
tampak sebuah persegi panjang PQRS
P
Q
yang panjangnya p dan lebarnya l
satuan. Diagonal QS membagi p
persegi panjang PQRS menjadi dua buah segitiga siku-siku, yaitu Gambar 5.2
∆ PQS dan ∆ QRS. Luas persegi panjang
PQRS sama dengan
jumlah luas ∆ PQS dan ∆ QRS. Adapun luas ∆ PQS sama dengan
luas ∆ QRS, sehingga diperoleh
luas ∆ PQS = luas ∆ QRS
= luas persegi panjangPQRS
Karena persegi panjang PQRS berukuran panjang p dan lebar
l, luas ∆ PQS = × p × l
luas segitiga siku-siku = × alas × tinggi
2. Menemukan Teorema Pythagoras
Untuk menemukan teorema Pythagoras lakukan kegiatan berikut.
Ambillah dua potong kertas berbentuk persegi berukuran (b + c) cm
seperti tampak pada Gambar 5.3 (i) dan 5.3 (ii). Kita akan menemukan hubungan
antara besarnya a, b, dan c.
Gambar
5.3 (i) menunjukkan persegi ABCD berukuran D P C
(b +
c) cm. Pada keempat sudutnya buatlah empat segitiga sikusiku
dengan panjang sisi siku-sikunya b cm
dan c cm.
S
Dari Gambar 5.3 (i) tampak bahwa luas
persegi ABCD sama Q
dengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah
luas
empat segitiga siku-siku (luas daerah
yang diarsir), sehingga A R B
diperoleh
Gambar 5.3 (i)
luas daerah yang diarsir = luas empat segitiga siku-siku
= 4 × × b × c
H N G
dan luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi PQRS b
= a × a = a2 M
Lalu buatlah persegi EFGH berukuran (b + c) cm
seperti c c
tampak pada gambar 5.3
(ii). Pada dua buah sudutnya buatlah E b
O F
empat segitiga siku-siku sedemikian sehingga membentuk dua Gambar 5.3 (ii)
persegi panjang berukuran (b × c) cm.
Dari Gambar 5.3 (ii) tampak bahwa luas persegi EFGH sama
dengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah
luas
empat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehingga
diperoleh
luas daerah yang diarsir = luas dua persegi panjang
= 2 × b × c
= 2 bc
luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi KMGN+ luas persegi
OFML
= (b × b) + (c x c)
= b2 + c2
Dari Gambar 5.3 (i) dan 5.3 (ii) tampak bahwa ukuran persegi ABCD
= ukuran persegi EFGH, sehingga diperoleh luas persegi ABCD = luas persegi EFGH
2bc + a2 = 2bc
+ b2 + c2
a2 = b2 + c2
Luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi miring suatu
segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas daerah persegi yang panjang sisinya
adalah sisi siku-siku segitiga tersebut.
Teorema
Pythagoras tersebut selanjutnya dapat dirumuskan seperti berikut.Untuk setiap
segitiga siku-siku, berlaku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah
kuadrat panjang sisi siku-sikunya. Jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan a
panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang sisi
siku-sikunya maka berlaku:
a2 = b2 + c2. C
A B
Pernyataan di atas jika diubah ke bentuk pengurangan menjadi
b2 = a2 – c2 atau c2
= a2 – b2
Contoh :
Nyatakan hubungan yang berlaku pada
sisi-sisi segitiga pada gambar dibawah ini:
a. R b. m
l
P Q k
Penyelesaian:
Karena kedua segitiga di samping adalah segitiga sikusiku, maka
berlaku teorema Pythagoras, yaitu kuadrat panjang sisi miring = jumlah kuadrat
sisi siku-sikunya, sehingga berlaku:
a. q2 = atau
b. l2 = atau
Latihan Soal
1.
Gunakan teorema Pythagoras
untuk menyatakan persamaan-persamaan yang berlaku pada segitiga berikut.
C F I
E
A B D
H
G
2.
Ukurlah panjang sisi
setiap segitiga sikusiku pada soal no. 1 di atas. Cek, apakah kuadrat panjang
sisi miring = kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya. Ujilah jawabanmu dengan
jawaban soal no. 1.
3. Menggunakan Teorema Pythagoras untuk Menghitung
Panjang
Salah Satu Sisi Segitiga Siku-Siku jika Kedua
Sisi Lain
Diketahui
Dengan menggunakan teorema Pythagoras
kita dapat menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika panjang kedua
sisi lain diketahui.
Contoh:
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B
dengan AB = 6 cm dan BC = 8 cm.Hitunglah panjang AC.
A
6 cm
B 8 cm C
Penyelesaian:
Dengan menggunakan
teorema Pythagoras berlaku
AC2 = AB2
+ BC2
=
62 + 82
=
36 + 64
=
100
AC = = 10 cm
Jadi, panjang AC = 10 cm.
Latihan
1.
Gunakan teorema Pythagoras
untuk menghitung nilai x pada gambar berikut.
C 12 I
E F
10 26 9 24 25
x G
A B D x
x H
2.
Hitunglah nilai y pada setiap segitiga
berikut.
3y
y 8 20
y 4y
3.
Diketahui segitiga PQR
siku-siku di P
dengan PQ = 12 cm dan QR = 13 cm.
a.
Buatlah sketsa segitiga tersebut.
b.
Tentukan panjang PR.
4. Panjang hipotenusa suatu segitiga sikusiku adalah 15 cm,
sedangkan panjang sisi siku-sikunya 12 cm dan x cm.Berapakah nilai x?
C. MENYELESAIKAN MASALAH SEHARIHARI
DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA
PYTHAGORAS
Banyak permasalahan dalam kehidupan
sehari-hari yang disajikan dalam soal cerita dan dapat diselesaikan dengan
menggunakan teorema Pythagoras. Untuk memudahkan menyelesaikannya diperlukan
bantuan gambar (sketsa). Pelajari contoh berikut.
Seorang
anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 100 meter. Jarak
anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang adalah 60 meter.
Hitunglah ketinggian layang-layang!
C
Penyelesaian:
Tinggi
layang-layang = BC
BC = AC2
× AB2 100
m
= 1002
× 602
= 10.000
- 3600 A 60 m B
=
= 80 m
Jadi, tinggi layang-layang adalah 80
m.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 150 km, kemudian
ke arah selatan sejauh 200 km. Hitung jarak kapal sekarang dari tempat semula!
2. Sebuah tangga yang panjangnya 12 m bersandar pada tembok yang
tingginya
8 m. Jika
kaki tangga terletak 6 m dari tembok maka hitunglah panjang bagian tangga yang
tersisa di atas tembok!
3. Seseorang menyeberangi sungai yang lebarnya 30 meter. Jika ia
terbawa arus sejauh 16 meter, berapakah jarak yang ia tempuh pada saat
menyeberangi
sungai?
4. Dua buah tiang berdampingan berjarak 24 m. Jika tinggi tiang
masing-masing adalah 22 m dan 12 m, hitunglah panjang kawat penghubung antara
ujung tiang tersebut!
5. Sebidang sawah berbentuk persegi panjang berukuran (40
9) m. Sepanjang keliling dan kedua diagonalnya akan dibuat pagar dengan biaya
Rp25.000,00 per meter. Hitunglah:
a. panjang pagar;
b. biaya pembuatan
pagar.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar